题分类突破三 圆的辅助线及多解性
, 类型 1 遇弦心距、弧中点及求弓形面积添半径)
【例1】 2017·启东期中有一石拱桥的桥拱是圆弧形的，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施．当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
例1图
例1答图
解：不需要采取紧急措施．
理由如下：
设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，
∴R2＝302＋(R－18)2＝900＋R2－36R＋324，
解得R＝34.
连结OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，
∴342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2，
x2－68x＋256＝0，
解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)；
∴DE＝4.
∵4＞3.5，∴不需采取紧急措施．
变式 如图所示，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，＝，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的面积为( A )
变式图
A．2π－4 B．4π－8 C．2π－8 D．4π－4
, 类型 2 利用圆的轴对称性添辅助线)
【例2】 如图所示，在半径为6 cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE＝∠BDF＝60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为__6__cm2.
例2图
变式 如图所示，AB是⊙O的直径，弧AC的度数是60°，的度数是20°，且∠AFC＝∠BFD，∠AGD＝∠BGE，则∠FDG的度数为__50°__．
变式图
, 类型 3 利用圆的旋转不变性补形)
【例3】 如图所示，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为____cm2.
变式图
, 类型 4 圆的对称性引起的多解性)
【例4】 在⊙O中，弦AB和弦AC构成的∠BAC＝48°，M，N分别是AB和AC的中点，则∠MON的度数为__132°或48°__．
变式1 一个点到圆的最小距离为6 cm，最大距离为9 cm，则该圆的半径是( C )
A．1.5 cm B．7.5 cm
C．1.5 cm或7.5 cm D．3 cm或15 cm
变式2 点P是半径为5的⊙O上的一点，且OP＝3，在过P点的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为__4__．
1．⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为__140°或40°__．
2．如图所示，在⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO的度数为__50°__．
第2题图
第3题图
3．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8 cm，＝＝，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值是__8__cm.
4．2017·湖州中考如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径作半圆O，交BC于点D.若∠BAC＝40°，则的度数是__140°__．
第4题图
第5题图
5．2017·朝阳中考如图所示，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积( A )
A．不变 B．由大变小
C．由小变大 D．先由小变大，后由大变小
第6题图
6．2017·河南中考如图所示，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连结BB′，则图中阴影部分的面积是( C )
A. B．2－
C．2－ D．4－
7．如图所示，AB是⊙O的直径，C，P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5.
(1)如图(a)，若点P是弧AB的中点，求PA的长；
(2)如图(b)，若点P是弧BC的中点，求PA的长．
图(a) 图(b)
第7题图
解：(1)如图(a)所示，连结PB.
∵AB是⊙O的直径且P是的中点，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90°.
又∵在等腰直角三角形△APB中有AB＝13，
∴PA＝＝＝.
图(a) 图(b)
第7题答图
(2)如图(b)所示，连结BC，OP相交于点M，作PN⊥AB于点N.
∵P点为的中点，∴OP⊥BC，∠OMB＝90°，
又∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB＝∠POB.
又∵∠ACB＝∠ONP＝90°，
∴△ACB∽△ONP，∴＝，
又∵AB＝13，AC＝5，OP＝，代入，得 ON＝，
∴AN＝OA＋ON＝9，
∴在Rt△OPN中，NP2＝OP2－ON2＝36.
在Rt△ANP中，PA＝＝＝3，
∴PA＝3.
8．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E.
(1)如图(a)，当∠A为锐角时，判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；
(2)若图(a)中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图(b)，CA的延长线与圆O相交于点E.请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与(1)中你得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由．
图(a)
图(b)
第8题图
解：(1)∠BAC＝2∠CBE.
理由如下：连结AD，∵AB为直径，∴AD⊥BC.
又∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD.
又∵∠CAD＝∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE.
(2)结果仍然成立．
理由如下：连结AD，∵AB为直径，
∴∠E＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵四边形ADBE内接于⊙O，
∴∠CAD＝∠CBE＝∠BAD，
∴∠BAC＝2∠CBE.