浙教版数学上册 九年级
第一章 二次函数 单元评估测试卷
一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
1.下列函数属于二次函数的是（ ）
A.
【答案】C
【解析】
【分析】
整理后根据二次函数的定义条件判定即可．
【详解】A、y＝5x＋3是一次函数，错误；
B、分母中含有自变量，不是二次函数，错误；
C、符合二次函数的一般形式，是二次函数，正确；
D、被开方数中含自变量，不是二次函数，错误．选C．
【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2.二次函数的图象是（ ）
A. 线段 B. 直线 C. 抛物线 D. 双曲线
【答案】C
【解析】
∵是二次函数，
∴的图象是抛物线，
故选C.
3.若函数的图象经过
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先确定出抛物线的对称轴为y轴，再根据二次函数的增减性解答．
【详解】∵抛物线y＝x2的对称轴为y轴，开口向上，
∴x≤0时，y随x的增大而减小，
∵a＜−1，
∵a−1＜a＜a＋1＜0
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，是基础题．
4.二次函数
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】如图：
A、∵根据图示知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线交x轴于点（−1，0），（3，0），
∴对称轴x＝=＝1，
∴b＝−2a＞0，
∵根据图示知，抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
B、∵对称轴x＝＝＝1，
∴b＝−2a，
∴b＋2a＝0．
故本选项错误；
C、根据图示知，当x＝−1时，y＝0，即a−b＋c＝a＋2a＋c＝3a＋c＝0，
故本选项错误；
D、∵a＜0，c＞0，
∴−3a＞0，4c＞0，
∴−3a＋4c＞0，
∴9a＋6b＋4c＝9a−12a＋4c＝−3a＋4c＞0，即9a＋6b＋4c＞0．
故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2＋bx＋c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
5.已知二次函数
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝h，由于抛物线过（0，5）、（15，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则点（0，5）到对称轴的距离大于点（15，8）到对称轴的距离，所以h−0＞15−h，然后解不等式后进行判断．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线x＝h，
而（0，5）、（15，8）两点在抛物线上，
∴h−0＞15−h，解得h＞7.5．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6.已知
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的特点知，该函数的最小值就是该函数图象的顶点的纵坐标：y＝．
【详解】∵二次函数y＝x2−（a＋b）x＋ab的开口向上，
∴该函数的最小值就是函数图象的顶点的纵坐标，
∴y最小值＝，即y最小值＝−，
∵a，b是整数，a≠b且−3≤a≤4，−3≤b≤4，
∴−7≤a−b≤7，
∴|a−b|≤7，
∴（a−b）2≤49，
∴−（a−b）2≥−49，
∴−≥−，即y最小值≥−；
∴二次函数y＝x2−（a＋b）x＋ab的最小值的最小值为−，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了公式法．
7.已知一次函数的图象经过点，二次函数的图象经过两点
A. B. C. D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知一次函数y＝ax＋b的图象经过点（−2，0）得2a＝b，进而知抛物线对称轴，由抛物线对称性可判断m、n的大小．
【详解】根据题意，知−2a＋b＝0，即2a＝b，
∴抛物线的对称轴x＝−＝−1，
∵x＝−3与x＝1到对称轴x＝−1的水平距离相等，
∴根据二次函数对称性知m＝n，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标的特征，根据已知条件判断出抛物线的对称轴是关键．
8.若将抛物线向上平移个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2x2向上平移3个单位可得到函数y＝2x2＋3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．
9.抛物线是由抛物线经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【详解】原抛物线的顶点为（0，1），新抛物线的顶点为（−2，1），
∴是抛物线y＝x2＋1向左平移2个单位得到，
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数图象平移的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
10.已知二次函数与轴只有一个交点，且图象过
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由“抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点”推知x＝−时，y＝0．且b2−4c＝0，即b2＝4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（−−，m），B（−+，m）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．
【详解】∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，
∴当x＝−时，y＝0．且b2−4c＝0，即b2＝4c．
又∵点A（x1，m），B（x1＋n，m），
∴点A、B关于直线x＝−对称，
∴＝−，解得x1＝（−b−n），
∴A（−−，m），B（−+，m），
将A点坐标代入抛物线解析式，得m＝（−−）2＋（−−）b＋c，即m＝＋c，
∵b2＝4c，
∴m＝n2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．
二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
11.已知以为自变量的二次函数的图象经过原点，则________，当________时随增大而减小．
【答案】 (1). -1 (2). ＞0
【解析】
【分析】
二次函数图象经过原点，将点（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m的值，再根据解析式 确定增减性．
【详解】∵二次函数y＝（m−2）x2＋m2−m−2的图象经过原点，
∴m2−m−2＝0，解得m1＝−1，m2＝2，
但m−2≠0，∴m＝−1，
二次函数解析式为y＝−3x2，
∵−3＜0，抛物线开口向下，
∴当x＞0时y随x增大而减小．
故答案为：−1，＞0．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特点，二次函数的性质．关键是根据已知条件求m的值，根据二次项系数不为0，所求其中一个m的值．
12.当时，二次函数的最大值是________，最小值是________．
【答案】 (1). 2 (2). -2
【解析】
【分析】
已知函数y＝−x2＋4x−2的标准式，将其化为顶点式为y＝2−（x−2）2，考虑0≤x≤3，即可求解此题．
【详解】将标准式化为两点式为y＝−（x−2）2＋2，0≤x≤3，
∵开口向下，
∴当x＝2时，有最大值：ymax＝2，
当x＝0时，ymin＝−2．
故答案为：2，−2．
【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．此题要注意x的取值范围，在0≤x≤3范围内求解
13.若二次函数的最小值是，则它的图象与轴的交点坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数最大（小）值的求法，利用公式法直接求得c的值，即可求得图象与y轴的交点坐标．
【详解】∵二次函数y＝x2＋2x＋c的最小值是7，
∴＝＝7，
解得c＝8，
∴图象与y轴的交点坐标是（0，8），
故答案为（0，8）．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
14.二次函数的一般形式是________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用乘法运算法则化成一般式．
【详解】y＝−4（1＋2x）（x−3）＝−8x2＋20x＋12，
故答案为：y＝−8x2＋20x＋12．
【点睛】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键．
15.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m.
【答案】2
【解析】
试题解析：如图，建立平面直角坐标系，
设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：米．
16.如图所示，一位运动员在离篮下米水平距离处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是米时，球达到最大高度米．已知篮筐中心到地面的距离为米，问球出手时离地面________米时才能投中．
【答案】
【解析】
【分析】
根据图象，求得图象上点的坐标，设出函数解析式，代入点求出，进一步求得问题的解．
【详解】如图，
由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），
设函数解析式为y＝ax2＋3.5，
代入B点得a＝−0.2，
因此函数解析式为：y＝−0.2x2＋3.5，
把x＝−2.5代入解析式得y＝2.25；
答：球出手时离地面2.25米时才能投中．
故答案为：2.25．
【点睛】此题主要考查根据函数的特点，用待定系数法求函数解析式，再进一步利用解析式解决问题．
17.若二次函数配方后为，则________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
先把顶点式化为一般式得到y＝x2−4x＋4＋k，然后把两个一般式比较可得到b＝−4，4＋k＝5，于是求出k的值后可得到b＋k的值．
【详解】∵y＝（x−2）2＋k＝x2−4x＋4＋k，
∴b＝−4，4＋k＝5，解得k＝1，
∴b＋k＝−4＋1＝−3．
故答案为−3．
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）； 顶点式：y＝a（x−h）2＋k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y＝a（x−x1）（x−x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
18.若抛物线与轴有两个交点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
抛物线y＝x2−2x−k与x轴有两个交点，则△≥0，从而可求得k的取值范围．
【详解】∵抛物线y＝x2−2x−k与x轴有两个交点，
∴△＞0，即（−2）2−4×1×（−k）＞0．
整理得：4＋4k＞0．
解得：k＞−1．
故答案为：k＞−1．
【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，明确当△＞0是抛物线与x轴有两个交点是解题的关键．
19.对于二次函数，当时，，当时，；所以方程的一个正根的近似值是________．（精确到
【答案】1.4
【解析】
【分析】
根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解．
【详解】∵二次函数y＝x2＋2x−5中a＝1＞0，
∴抛物线开口方向向上，
∵对称轴x＝−＝−1，
∴x＞−1时y随x的增大而增大，
∵当x＝1.4时，y＝−0.24＜0，当x＝1.45时，y＝0.0025＞0，
∴方程x2＋2x−5＝0的一个正根：1.4＜x＜1.45，
∴近似值是1.4．
答案1.4．
【点睛】解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．
20.二次函数的图象如图所示，有下列个结论：①
【答案】3
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵−＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项错误；
②当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，故a＋c＞b，错误；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a＋2b＋c＞0，故此选项正确；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a＋3b＋c＜0，且x＝−＝1，
即a＝−，代入得9（−）＋3b＋c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a＋b＋c，
而当x＝m时，y＝am2＋bm＋c，
所以a＋b＋c＞am2＋bm＋c，
故a＋b＞am2＋bm，即a＋b＞m（am＋b），故此选项正确．
故③④⑤正确．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2＋bx＋c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）
21.已知函数的部分图象如图所示，
写出抛物线与轴的另外一个交点坐标并求值；
观察图象直接写出不等式的解集．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）抛物线与x轴的另一个交点的横坐标＝对称轴−（3−1）＝−1，纵坐标为0，将（3，0）代入y＝−x2＋2x＋c得c即可；
（2）根据图象与x轴交点的坐标即可得到不等式−x2＋2x＋c＞0的解集．
【详解】易得对称轴为，根据抛物线的对称性，可得抛物线与轴两交点到对称轴的距离相等，
那么抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，纵坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
将代入得：
，
解得：；
根据图象得二次函数的图象与轴交点坐标为、，
而，
即，
∴.
【点睛】此题主要考查了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系：当y＝0时，函数为一元二次方程；当y＞0或y＜0时，函数为一元二次不等式．
22.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为
求该抛物线的解析式；
如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高．
【答案】 ；小华的身高是米
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点E（1，1.4），B（6，0.9）坐标代入即可；
（2）小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，即OF＝3，求当x＝3时的函数值．
【详解】由题意得点，，
代入得，
解得，
故所求的抛物线的解析式是；
把代入，
得，
故小华的身高是米.
【点睛】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．
23.已知二次函数
在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
根据图象，写出当时，的取值范围；
若将此图象沿轴向右平移个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
当为何值时，函数随着的增大而增大？当为何值时，函数随着的增大而减小？
【答案】见解析当时，或； ；当时，函数随着的增大而增大；当为时，函数随着的增大而减小
【解析】
【分析】
（1）根据函数解析式确定图象顶点坐标及图象与x、y轴交点坐标即可画出图象；
（2）根据图象即可得出答案；
（3）根据图象平移“左加右减、上加下减”特点即可写出函数解析式；
（4）根据抛物线开口方向以及对称轴的位置，判断函数的增减性．
【详解】∵，，
∴抛物线的顶点坐标为：，
当时，，
当时，或，
函数图象如图：
由图可知：当时，或；
∵，
∴此图象沿轴向右平移个单位，平移后图象所对应的函数关系式：；
∵抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，函数随着的增大而增大；当为时，函数随着的增大而减小．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换等知识，掌握这些性质是解题的关键.
24.我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量（万件）与月份（月）的关系为：，每件产品的利润（元）与月份（月）的关系如下表：
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（1）请你根据表格求出每件产品利润（元）与月份（月）的关系式；
（2）若月利润（万元）当月销售量（万件）当月每件产品的利润（元），求月利润（万元）与月份（月）的关系式；
（3）当为何值时，月利润有最大值，最大值为多少？
【答案】（1）；（2）；（3）当为时，月利润有最大值，最大值万元
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据可以求得各段对应的函数解析式，本题得以解决；
（2）根据题目中的解析式和（1）中的解析式可以解答本题；
（3）根据（2）中的解析式可以求得各段的最大值，从而可以解答本题．
【详解】当时，设每件产品利润（元）与月份（月）的关系式为，
，得，
即当时，每件产品利润（元）与月份（月）的关系式为，
当时，，
由上可得，；
(2)当时，
，
当时，
，
当时，
，
由上可得，；
（3）当时，，
∴当时，取得最大值，此时；
当时，，
当时，，
则当时，取得最大值，此时，
由上可得，当为时，月利润有最大值，最大值万元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
25.如图，已知直线分别交轴、轴于
求抛物线的解析式：
求的面积；
在抛物线的对称轴上，是否存在点，使周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标．
【答案】 ；3；（3）存在点使周长最短，其坐标为．
【解析】
【分析】
（1）由直线解析式可求得A、B两点的坐标，根据待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得C点坐标，再根据三角形的面积可求得答案；
（3）连接BC交对称轴于点M，由题意可知A、C关于对称轴对称，则可知MA＝MC，故当B、M、C三点在同一条直线上时MA＋MB最小，则△ABM的周长最小，由B、C坐标可求得直线BC的解析式，则可求得M点的坐标．
【详解】在中，令可求得，令可得，
∴，，
把、两点的坐标分别代入得，解得，
∴抛物线解析式为；
令得，解得，，
∴，，
∴；
∵，
∴抛物线的对称轴为，
∵、关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴当、、三点在同一条直线上时最小，此时的周长最小，
∴连接交对称轴于点，则即为满足条件的点，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式，
当时，，
∴，
∴存在点使周长最短，其坐标为．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、轴对称的性质等知识．在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（2）中求得C点坐标是解题的关键，在（3）中确定出M点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
26.如图，抛物线与轴交于
求抛物线的解析式；
若点在轴上方的抛物线上，当时，求点的坐标；
若点
【答案】 ．点的坐标为或．存在满足条件的的值为或或或．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；
（3）解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形，然后根据PE＝CE的条件，列出方程求解；当四边形PECE′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到m的值．
【详解】∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
∵点的横坐标为，
∴，，，
∴，
，
由题意，，即：，
①若，整理得：，
解得：或；
②若，整理得：，
解得：或，
由题意，的取值范围为：，故、这两个解均舍去．
∴或．
∴点的坐标为或；
假设存在，
作出示意图如下：
∵点、关于直线对称，
∴，，．
∵平行于轴，∴，
∴，∴，
∴，即四边形是菱形，
当四边形是菱形存在时，
由直线解析式，可得，，由勾股定理得，
过点作轴，交轴于点，易得，
∴，即 ，解得，
∴，又由可知：，
∴，
①若，整理得：，解得或；
②若，整理得：，解得，．
由题意，的取值范围为：，故这个解舍去，
当四边形是菱形这一条件不存在时，
此时点横坐标为，，，三点重合与轴上，也符合题意，
∴，
综上所述，存在满足条件的的值为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合题、一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论思想与方程思想解决问题，解题时注意不能漏解．