温州市第七中学

方法指导

1.垂径定理：

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数思想方法一定要掌握．

2.圆心角与圆周角

（1）在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

（2）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．

3．切线的性质与证明：

切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线的性质：

（1）切线与圆只有一个公共点.

（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.

（3）切线垂直于经过切点的半径.

4.圆的有关计算：

（1）扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝（2）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.

（3）阴影部分的面积计算常通过添加辅助线转化为规则图形的面积的计算.

【题型剖析】

【类型1】： 垂径定理的有关计算

【例题解析】：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（　　）

A．26π　　　　　　B．13π　　　　　　C．　　　　D．

【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=×13，于是得到结论．

【名师点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．

【变式练习】

⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC度数为                  ．

【答案】75°或15°．

【解析】

试题分析：有两种情况：

①如图1所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE==，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；

②如图2所示：

连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE═=，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°﹣30°=15°；

故答案为：75°或15°．

考点：1．垂径定理；2．圆周角定理；3．解直角三角形；4．分类讨论．

【名师点拨】本题考查的是垂径定理的应用，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦是解题的关键，注意勾股定理的灵活运用和弦的位置的分类讨论是解决此题的关键.

【类型2】： 圆周角与圆心角

【例题解析】：将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点 E，分别连接EB，EC．

（1）求证：EC平分∠AEB；

（2）求的值．

【分析】（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；

（2）设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么=．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出=，进而得出结论．

作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．在△AFM与△BGM中，∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，∴△AFM∽△BGM，∴ =，∴ ===．

【名师点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，通过作辅助线得出=是解题的关键．

【变式练习】

如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．

（1）求证：CA=CN；

（2）连接DF，若cos∠DFA=，AN=，求圆O的直径的长度．

【分析】（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；

（2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DFA=，AN=，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，则OH=r﹣6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度．

（2）连接OC，如图2所示．

∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，∴=．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN= = = a=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．

设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC²=CH²+OH²，r²=8²+（r﹣6）²，解得：r=，∴圆O的直径的长度为2r=．

考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．圆周角定理

【类型3】： 圆的切线的性质与判定

【例题解析】：如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若PD=，求⊙O的直径．

【分析】（1）连结OA、AD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，则∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接着根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP=90°，于是根据切线的判定定理可判断AP与⊙O相切；

（2）连接AD，证得△AOD是等边三角形，得到∠OAD=60°，求得AD=PD=，得到OD=，即可得到结论．

【解析】（1）证明：连接OA，

∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切线．

（2）在Rt△OAP中，

∵∠P=30°，

∴PO=2OA=OD+PD，

又∵OA=OD，

∴PD=OA，

∵PD=，

∴2OA=2PD=2．

∴⊙O的直径为2．

【名师点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

【变式练习】

如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．

（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；

（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．

【答案】(1) B（，2）．(2)证明见解析.

∴由勾股定理可知：NB=，

∴B（，2）．

∴∠CND=∠NCD，

∵MC=MN，

∴∠MCN=∠MNC，

∵∠MNC+∠CND=90°，

∴∠MCN+∠NCD=90°，

即MC⊥CD．

∴直线CD是⊙M的切线．

考点：切线的判定；坐标与图形性质．

【类型4】： 圆与三角函数、相似的综合问题

【例题解析】：

如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如果半径的长为3，tanD=，求AE的长．

【分析】（1）连接OC，如图，由弧BC=弧CF得到∠BAC=∠FAC，加上∠OCA=∠OAC．则∠OCA=∠FAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）先在Rt△OCD中利用正切定义计算出CD=4，再利用勾股定理计算出OD=5，则sinD=，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义可求出AE的长．

∴∠OCA=∠FAC，

∴OC∥AE，

∵AE⊥DE，

∴OC⊥DE．

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OCD中，∵tanD==，OC=3，

∴CD=4，

∴OD==5，

∴AD=OD+AO=8，

在Rt△ADE中，∵sinD===，

∴AE=．

【名师点拨】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．

【变式练习】如图，已知AB为⊙O直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．

（1）求证：直线DE与⊙O相切；

（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．

【分析】（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；

（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．

∴OD∥AE．

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵D是弧BC的中点，

∴=，

∴∠EAD=∠BAD，

∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，

∴DE=DG=4，

【名师点拨】此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．

【类型5】： 圆的有关阴影部分的面积的计算

【例题解析】：

在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质证出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，证出DF⊥OD，即可得出结论；

（2）证明△OBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性质得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=6，阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积，即可得出答案．

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∵OD是⊙O的半径，

∴DF是⊙O的切线；

（2）解：∵AC=BC，∠A=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴ABC=60°，

∵OD=OB，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠BOD=60°，

∵DF⊥OD，

∴∠ODG=90°，

∴∠G=30°，

∴OG=2OD=2×6=12，

∴DG=OD=6，

∴阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积=×6×6﹣=18﹣6π．

【名师点拨】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等．

【变式练习】

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．

（1）求证：BE与⊙O相切；

（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．

【答案】(1)证明见解析；（2）4﹣π．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，则OD垂中平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，利用勾股定理得到（r﹣1）²+（）²=r²，解得r=2，再利用三角函数得到∠BOD=60°，则∠BOC=2∠BOD=120°，接着计算出BE=OB=2，

然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S_△OBE﹣S_扇形BOC进行计算即可．

试题解析：（1）证明：连接OC，如图，

即OD垂中平分BC，

∴EC=EB，

在△OCE和△OBE中

，

∴△OCE≌△OBE，

∴∠OBE=∠OCE=90°，

∴OB⊥BE，

∴BE与⊙O相切；

（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，

在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，

∴（r﹣1）²+（）²=r²，解得r=2，

∵tan∠BOD==，

∴∠BOD=60°，

∴∠BOC=2∠BOD=120°，

考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．