二次根式的有关概念求字母或代数式的值
名师点金：
本章涉及的概念有二次根式、最简二次根式及被开方数相同的最简二次根式等，理解二次根式的定义要明确：被开方数是非负数；最简二次根式的特征：一是被开方数不含分母；二是被开方数不含开得尽方的因数或因式；被开方数相同的最简二次根式要确保在最简二次根式这一前提下看其被开方数是否相同．
利用二次根式的定义判定二次根式
1．下列式子不一定是二次根式的是( )
A. B.
C.(x≤0) D.
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
2．无论x取何实数，代数式都有意义，化简式子＋.
利用最简二次根式的定义识别最简二次根式
3．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
，，，(x>2)，－x，，(b>0，a>0)，，(a>b>0)，，.
4．化简下列各式：
(1)； (2)(a≥0，b≥0)；
(3)(mn＞0); (4)(x≠y)．
利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值
5．如果最简根式和是被开方数相同的最简二次根式，那么( )
A．a＝0，b＝2 B．a＝2，b＝0
C．a＝－1，b＝1 D．a＝1，b＝－2
6．若最简二次根式和能合并，则代数式－＋(3a＋2b)2的值为________．
7．如果最简二次根式与在二次根式加减运算中可以合并，求使有意义的x的取值范围．
8．若m，n均为有理数，且＋＋＝m＋n，求(m－n)2＋2n的值．
解码专训二：比较二次根式大小的八种方法
名师点金：
二次根式的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等．
平方法
1．比较＋与＋的大小．
作商法
2．比较4－与2＋的大小．
分子有理化法
3．比较－与－的大小．
分母有理化法
4．比较与的大小．
作差法
5．比较与的大小．
[来源:学_科_网]
倒数法
6．已知x＝－，y＝－，试比较x，y的大小．
特殊值法
7．用“<”连结x，，x2，.(0<x<1)
定义法
8．比较与的大小．
解码专训三：常见二次根式化简求值的九种技巧
名师点金：
在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，在运算的最后注意结果要化简到最简形式．在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法．
估算法
1．估计×＋的运算结果应在( )
A．5到6之间 B．6到7之间
C．7到8之间 D．8到9之间
2．若将三个数－，，表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．
(第2题)
公式法
3．计算：(5＋)×(5－2)．
拆项法
4．计算：.(提示：＋4＋3＝(＋)＋3(＋))
换元法
5．已知n＝＋1，求＋的值．
整体代入法
6．已知x＝，y＝，求＋－4的值．
因式分解法
7．计算：.
8．化简：(x≠y)．
配方法
9．若a，b为实数，且b＝＋＋15，试求－的值．
辅元法
10．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值．
先判后算法
11．已知a＋b＝－8，ab＝8，化简b＋a并求值．
解码专训四：巧用二次根式的双重非负性化简求值
名师点金：
对于二次根式，有两个“非负”：第一是a≥0，第二是≥
0，这两个“非负”在解二次根式的有关题目中经常用到．二次根式的被开方数和值均为非负数，是常见的隐含条件．
利用被开方数a≥0解决有关二次根式
的问题
1．若－＝，则3x－y的值为________．
巧用≥0求代数式的值
2．已知2|2a－4|＋＝0，求a＋b－ab的值．
巧用≥0求最值
3．当x取何值时，＋3的值最小？最小值是多少？
巧用被开方数非负性解决代数式化简求值问题
4．设等式＋＝－成立，且x，y，a互不相等，求的值．
解码专训五：利用二次根式解与直角三角形有关的问题
名师点金：
利用二次根式解与直角三角形有关的问题，通常借助勾股定理进行计算．常见的题型有：求直角三角形中的某些线段长，求三角形(四边形)的周长和面积，求平面直角坐标系中点的坐标，解决实际问题等．
利用二次根式求直角三角形中的线段长
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝，求斜边AB上的高CD.
(第1题)
利用二次根式求四边形的周长和面积
2．一个直角梯形的上底是2cm，下底为cm，高为cm，求这个梯形的面积和周长．
利用二次根式求解平面直角坐标系中点的坐标
3．已知在Rt△OAB中，∠B＝90°，A点的坐标为(，0)，BA＝2.把△OAB按如图方式放置在直角坐标系中，使点O与原点重合，点A落在x轴正半轴上．求点B的坐标．
(第3题)
利用二次根式求解实际问题
4．如图，在水塔O的东北方向10 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向20m处有一建筑工地B，在AB间铺设一条直通的水管，求水管的长.
(第4题)
解码专训六：二次根式中常见五种热门考点
名师点金：
本章内容在中考中主要考查二次根式及其性质、二次根式的计算与化简，多以填空题、选择题或计算题的形式出现，有时也与其他知识结合在一起综合考查，二次根式的内容是中考热点之一．
二次根式有意义的条件及性质
1．(中考·南京)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
2．(中考·黔南州)实数a在数轴上对应的点的位置如图，化简＋a＝________.
(第2题)
3．若与互为相反数，求6x＋y的平方根．
二次根式的化简及运算
4．(中考·徐州)下列运算中错误的是( )
A.＋＝ B.×＝
C.÷＝2 D．(－)2＝3
5．若最简根式与可以合并，则2a＋3b＝________.
6．(中考·张家界)计算：(－1)(＋1)－＋|1－|－(π－2)0＋.
二次根式的化简求值
7．(中考·呼和浩特)先化简，再求值：＋÷，其中a＝，b＝－.
8．(中考·荆门)先化简，再求值：＋÷，其中a，b满足＋|b－|＝0.
二次根式综合应用
9．等腰三角形的一边长为2，周长为4＋7，求这个等腰三角形的腰长．
10．如图，水库大坝截面的迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为5∶3，背水坡坡比为1∶2，大坝高DE＝30 m，坝顶宽CD＝10 m，求大坝的截面周长．
(第10题)
二次根式的规律性探究
11．(中考·菏泽)下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左向右数第n－2个数是__________．(用含n的代数式表示)
解码专训七：思想方法荟萃
分类讨论思想
名师点金：
在解某些数学问题时，它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论，像这样对事物的各种情况分别加以讨论的思想，称为分类讨论思想．在运用分类
讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”．在化简二次根式时，有些时候题目中没有给出字母的取值范围，这时候就要对字母进行分类，在不同的取值范围下化简二次根式．
1．已知a是实数，求－的值．
数形结合思想
名师点金：
数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决．在进行二次根式的化简时，可以借助数轴确定字母的取值范围，然后对式子进行化简．
2．已知实数m，n在数轴上对应的点的位置如图，化简：＋＋＋－.
(第2题)
类比思想
名师点金：
类比是一种在不同对象之间，或者在不同事物之间，根据某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出在其他方面也可能有相似之处，从而建立猜想和发现真理的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有知识来认识新知识．本章中二次根式的运算方法和顺序类比于整式的运算的方法和顺序，运算公式和运算律同样适用．
3．计算：(7＋2－)(2－7＋)．
[来源:Z。xx。k.Com]
转化思想
名师点金：
解数学问题时，碰到陌生的问题常设法把它转化成熟悉的问题，碰到复杂的问题常设法把它转化成简单的问题，从而使问题得到解决，这就是转化思想．在二次根式中，常把二次根式的乘法运算转化成乘方运算，巧求它们的积．
4．计算：(＋)2 015·(－)2 016.
答案
解码专训一
1．D 点拨：，，(x≤0)是二次根式，可化为，只有当x＝4时，才是二次根式，故不一定是二次根式．
2．解：∵＝，
且无论x取何实数，代数式都有意义，
∴m－4≥0，
∴m≥4.
当m≥4时，＋
＝(m－3)＋(m－4)
＝2m－7.
3．解：，，，是最简二次根式．
，(x＞2)，－x，，(b＞0，a＞0)，(a＞b＞0)，不是最简二次根式．
∵＝＝＝9，[来源:学。科。网]
＝＝x－2(x>2)，
－x＝＝－，
＝＝，
＝b(b>0，a>0)，
＝(a＋b)(a>b>0)，
＝，
4．解：(1)＝＝.
(2)＝＝2a(a≥0，b≥0)．
(3)由－≥0，mn＞0知m
＜0，n＜0，∴＝＝＝－(mn>0)．
(4)＝＝(x≠y)．
5．A 点拨：由题意得解得故选A.
6．1 点拨：∵最简二次根式和能合并，∴5a＋b＝2a－b，∴3a＋2b＝0，∴3a＝－2b.∴－＋(3a＋2b)2＝1＋0＝1.
7．解：由题意得3a－8＝17－2a.
∴a＝5.
∴＝.
要使有意义，只需有意义即可．
∴20－2x≥0，∴x≤10.
8．解：∵＋＋＝＋2＋＝＝m＋n，
∴m＝0，n＝.
∴(m－n)2＋2n＝＋2×＝＋7＝.
解码专训二
1．解：因为(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，
17＋2＞17＋2，所以(＋)2>(＋)2，又因为＋>0，＋>0，
所以＋＞＋.
2．解：∵＝(4－)(2－)＝11－6，
6≈10.39，
∴11－6＜1，又∵4－>0，2＋>0，
∴4－＜2＋.
3．解：－＝
＝，
－＝
＝，
∵＋＞＋，＋>0，＋>0，
∴<，
即－＜－.
4．解：∵＝2＋，＝＋，
2＋＞＋，
∴＞.
5．解：因为－＝，－3>0，
所以>0，所以>.
6．解：＝＝＞0，
＝＝＞0，
∵＋＞＋＞0，
∴＞＞0，∴x＜y.
7．解：取特殊值x＝，则x2＝，＝，＝4，
∴x2＜x＜＜.
8．解：∵5－a≥0，∴a≤5，∴a－6＜0，∴＜0，
∴＞.
解码专训三
1．C 点拨：原式＝4×＋3＝2＋3＝5.
∵≈1.414，∴5≈7.07.
∵7＜7.07＜8，∴选C.
2. 点拨：因为－＜0，2＜＜3，3＜＜4，所以被墨汁覆盖的数为.
3．解：原式＝(5＋)×[5－()2×]
＝(5＋)×[×(5－)]
＝×(5＋)×(5－)
＝×(25－6)＝19.
4．解：原式＝
＝＋
＝＋＝－＋－
＝－.
5．解：设x＝n＋2＋，y＝n＋2－，
则x＋y＝2n＋4，xy＝4n＋8.
原式＝＋＝＝＝－2＝－2＝n.
当n＝＋1时，原式＝＋1.
6．解：由已知得x＝3＋2，y＝3－2，所以x＋y＝6，xy＝1，
所以原式＝＝＝30.
7．解：＝＝＝＝＝＝.
8．解：原式＝＝＝＝.
9．解：由二次根式的性质，得
∴3－5a＝0，∴a＝.
∴b＝15，∴a＋b＞0，a－b＜0.
∴－＝－＝－＝＝.
当a＝，b＝15时，
原式＝×＝.
方法点拨：对于形如＋＋2或＋－2的代数式都要变为或的形式，当它们作为被开方数进行化简时，要注意a＋b和a－b以及ab的符号．
10．解：设x＝k(k＞0)，则y＝2k，z＝3k，
∴原式＝＝＝－2.
11．解：∵a＋b＝－8，ab＝8，∴a＜0，b＜0.
∴b＋a＝－－＝－·＝－＝－＝－＝－12.
点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解．
解码专训四
1．2 点拨：由题意知3x－4＝0，x－y＝0，所以x＝，y＝4，代入求值即可．
2．解：由绝对值、二次根式的非负性，得|2a－4|≥0，≥0.又因为2|2a－4|＋＝0，所以解得则a＋b－ab＝2－3－2×(－3)＝5.
3．解：∵≥0，∴当9x＋1＝0，即x＝－时，＋3的值最小，最小值为3.
方法点拨：涉及二次根式的最小(大)值问题，要根据题目的具体情况来决定用什么方法．一般情况下利用二次根式的非负性求解．
4．解：由题意知
解得a＝0，代入已知等式得－＝0，所以＝，所以x＝－y，
所以＝＝＝.
解码专训五
1．解：AC＝＝＝，
∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，
∴CD＝＝＝.
方法规律：根据直角三角形的性质利用面积相等法、勾股定理计算．
2．解：∵直角梯形的上底是2cm，下底为cm，高为cm，∴直角梯形的两腰长分别为cm，＝(cm)．∴梯形的面积为(2＋)×＝(cm2)．梯形的周长为2＋＋＋＝5＋＋(cm)．
点拨：此题考查了二次根式的应用，用到的知识点是梯形的面积公式、勾股定理，解题的关键是掌握梯形的面积公式．
3．解：过点B作BC⊥x轴交x轴于点C，如图，由题意，得OA＝，AB＝2，∵∠OBA＝90°，∴OB2＝OA2－AB2＝12－4＝8，解得OB＝2.∵BC·OA＝OB·BA，∴BC＝＝.在Rt△OBC中，OC＝＝，
∴B点坐标为.
(第3题)
(第4题)
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
4．解：∵A在水塔O的东北方向10 m处，B在水塔O的东南方向20m处，∴如图，建立平面直角坐标系可得A(5，5)，B(20，－20)，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两垂线相交于点C，则AC＝(20＋5)m，BC＝(20－5)m，根据勾股定理，得AB＝＝＝＝30(m)，即水管的长为30 m.
答：水管的长为30 m.
点拨：本题考查了二次根式的应用，求出点A，B的坐标并作辅助线构造出以AB为斜边的直角三角形是解题的关键．
解码专训六
1．x≥－1 2.1
3．解：由题意，得＋＝0，∴x－3＝0，y＋2＝0，解得x＝3，y＝－2，则6x＋y＝16，∴6x＋y的平方根为±4.
4．A 5.5[来源:Zxxk.Com]
6．解：原式＝5－1－9＋－1－1＋2＝－7＋3.
7．解：原式＝×＝×＋×＝＋＝.
当a＝，b＝－时，原式＝－.
8．解：∵＋|b－|＝0，∴a＋1＝0，b－＝0，解得a＝－1，b＝.原式＝[－]÷＝·＝·＝＝＝－.
9．解：当腰长为2时，底边长为4＋7－2×2＝7，∵2＋2＝4＝＜7，∴此时不能组成三角形；当底边长为2时，腰长为(4＋7－2)÷2＝＋，∵此时任意两边之和大于第三边，∴能组成三角形．
综上所述，这个等腰三角形的腰长为＋.
10．解：∵DE＝30 m，AE＝30÷＝18(m)，
∴AD＝＝＝6(m)
∵CD＝10 m，∴EF＝10 m.
又∵CF＝DE＝30 m，FB＝30÷＝60(m)，
∴CB＝＝＝30(m)．
∴周长＝AD＋DC＋CB＋AB＝6＋10＋30＋60＋10＋18＝6＋30＋98(m)．
答：大坝的截面周长为(6＋30＋98)m.
11..
解码专训七
1．解：－＝|a＋2|－|a－1|，分三种情况讨论：
当a≤－2时，原式＝(－a－2)－[－(a－1)]＝－a－2＋a－1＝－3；
当－2＜a≤1时，原式＝(a＋2)＋(a－1)＝2a＋1；
当a＞1时，原式＝(a＋2)－(a－1)＝3.
点拨：求含字母的两个绝对值的和或差时，要分类讨论．本题也可以通过解不等式来确定各分界点．
2．解：由m，n在数轴上对应的点的位置可知m＞n，0＜m＜1，n＜－1.
∴m－n＞0，m－1＜0，n＋1＜0.
∴原式＝|m|＋|n|＋|m－n|＋|n＋1|－|m－1|＝m－n＋m－n－1－n－(1－m)＝m－n＋m－n－1－n－1＋m＝3m－3n－2.
方法点拨：在利用＝|a|化简时，一定要结合具体问题，先确定出绝对值号里面式子的符号，再进行化简．
3．解：(7＋2－)(2－7＋)
＝[2＋(7－)][2－(7－)]
＝(2)2－(7－)2
＝24－(98＋3－14)
＝14－77.
4．解：(＋)2 015·(－)2 016
＝[(＋)(－)]2 015·(－)
＝1×(－)＝－.